Un carré magique est un tableau de nombres, en général les entiers de 1 à n², rangés de sorte que chaque ligne, chaque colonne et les deux grandes diagonales donnent la même somme. Cette somme s’appelle la constante magique. Pour un carré d’ordre 3, elle vaut 15.
Si tu cherches « Qu’est-ce qu’un carré magique ? », tu peux venir de deux côtés très différents. Certains veulent un exercice de mathématiques, d’autres ont croisé ces tableaux dans un livre de talismans, comme le Shams al-Maarif d’al-Būnī.
Les deux lectures existent, et elles ne se confondent pas. Le carré magique est d’abord un objet de calcul, avec des règles que tu peux vérifier toi-même avec un crayon. Il a ensuite été utilisé dans des traditions qui lui prêtent des significations symboliques.
Dans cet article, je commence par la définition et par la construction, puis je retrace l’histoire, avant de parler de l’usage talismanique. Je m’appuie surtout sur Wikipédia (article Magic square) et je vérifie moi-même les calculs que je te donne.
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Qu’est-ce qu’un carré magique en mathématiques ?
C’est un tableau carré de n lignes et n colonnes dont toutes les lignes, toutes les colonnes et les deux diagonales principales ont la même somme. Si les cases contiennent exactement les entiers de 1 à n², on parle de carré magique normal. Le nombre n est l’ordre du carré.
Voici l’exemple le plus célèbre, d’ordre 3 :
| 8 | 1 | 6 |
|---|---|---|
| 3 | 5 | 7 |
| 4 | 9 | 2 |
Vérifie : 8 + 1 + 6 = 15, 3 + 5 + 7 = 15, 4 + 9 + 2 = 15. Les colonnes donnent 8 + 3 + 4 = 15, 1 + 5 + 9 = 15 et 6 + 7 + 2 = 15. Les diagonales donnent 8 + 5 + 2 = 15 et 6 + 5 + 4 = 15. Tout est cohérent, et c’est ce qui fait le charme de l’objet.
La constante magique d’un carré normal d’ordre n vaut n(n² + 1) / 2. Elle ne dépend que de l’ordre, pas de la disposition des nombres.
Selon Wikipédia, les constantes des ordres 3 à 8 sont les suivantes :
| Ordre n | Cases | Constante magique |
|---|---|---|
| 3 | 9 | 15 |
| 4 | 16 | 34 |
| 5 | 25 | 65 |
| 6 | 36 | 111 |
| 7 | 49 | 175 |
| 8 | 64 | 260 |
Pourquoi cette formule ? Les nombres de 1 à n² ont pour somme n²(n² + 1) / 2. Comme ils sont répartis en n lignes de même somme, chaque ligne vaut cette somme divisée par n, soit n(n² + 1) / 2. Pour n = 3, on trouve 3 × 10 / 2 = 15.
Combien de carrés existe-t-il ? Wikipédia indique que l’ordre 3 n’a qu’une seule classe : tous les carrés normaux d’ordre 3 se déduisent d’un seul par rotation ou par symétrie. L’ordre 4 en compte 880 distincts, selon le résultat attribué à Frenicle de Bessy, et l’ordre 5 en compte 275 305 224. Le nombre croît donc très vite avec l’ordre.
Un carré magique n’a aucun rapport avec la chance. Le mot « magique » vient de l’étonnement qu’il provoque, pas d’une propriété surnaturelle. Pour voir comment une tradition a pourtant utilisé ces carrés, lis la suite de l’article et Qui est Al-Buni ? Un maître soufi derrière la légende.
Comment construire un carré magique d’ordre 3 ou 5 ?
Pour un ordre impair, tu peux utiliser la méthode dite « siamoise » : tu écris 1 au milieu de la première ligne, puis tu montes d’une case en diagonale vers la droite pour chaque nombre suivant. Si la case est prise, tu descends d’une case au lieu de monter.
Voici la méthode pas à pas :
- Place 1 dans la case du milieu de la ligne du haut ;
- Pour chaque nombre suivant, déplace-toi d’une case vers le haut et d’une case vers la droite ;
- Si tu sors du tableau par le haut, reviens en bas de la même colonne ; si tu sors par la droite, reviens à gauche de la même ligne ;
- Si la case d’arrivée est déjà occupée, reste dans la case que tu viens de quitter et descends d’une case ;
- Continue jusqu’au nombre n².
J’ai appliqué cette méthode et vérifié le résultat. Pour n = 3, tu obtiens le carré montré plus haut. Pour n = 5, tu obtiens ceci :
| 17 | 24 | 1 | 8 | 15 |
|---|---|---|---|---|
| 23 | 5 | 7 | 14 | 16 |
| 4 | 6 | 13 | 20 | 22 |
| 10 | 12 | 19 | 21 | 3 |
| 11 | 18 | 25 | 2 | 9 |
Chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale donne 65. Tu peux contrôler la première ligne : 17 + 24 + 1 + 8 + 15 = 65.
Et pour l’ordre 4 ? La méthode précédente ne marche pas, car elle est réservée aux ordres impairs. Pour les ordres pairs, il existe d’autres procédés, plus délicats. Le carré d’ordre 4 le plus connu en Europe est celui que Dürer a gravé en 1514 dans Melencolia I. Sa constante est 34, et la date 1514 apparaît dans sa dernière ligne, selon Wikipédia :
| 16 | 3 | 2 | 13 |
|---|---|---|---|
| 5 | 10 | 11 | 8 |
| 9 | 6 | 7 | 12 |
| 4 | 15 | 14 | 1 |
Les lignes donnent 34, les colonnes aussi, et les deux diagonales également (16 + 10 + 7 + 1 = 34 et 13 + 11 + 6 + 4 = 34). Les deux cases centrales de la dernière ligne, 15 et 14, forment la date 1514.
Un carré peut être magique sans être normal : si les nombres sont quelconques mais que les sommes sont égales, le tableau reste magique. La condition « 1 à n² » définit seulement le cas normal.
Cette partie est vérifiable avec un papier et un crayon. C’est ce qui distingue le carré magique d’un symbole : tu n’as pas besoin de croire quoi que ce soit pour constater que la somme est la même.
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D’où viennent les carrés magiques, et qui les a étudiés ?
Les plus anciens carrés connus viennent de Chine. Selon Wikipédia, le Shushu jiyi, dit écrit en 190 avant notre ère, est le plus ancien document qui en parle, et les mathématiciens chinois connaissaient les carrés d’ordre 3 à cette date. La légende de la tortue du fleuve Lo, avec son motif de 3 × 3 de somme 15, serait plus ancienne encore.
Voici les repères que donne la source :
- Chine : le carré d’ordre 3 est associé au Lo Shu, mais ce lien n’est établi qu’au XIIe siècle ;
- Monde arabe : Jābir ibn Ḥayyān propose le premier carré d’ordre 3 qu’on puisse dater, dans un texte lié à l’alchimie ;
- Ikhwān al-Ṣafā : une encyclopédie de Bagdad, vers 983, contient des carrés d’ordre 3 à 9 ;
- Mathématiciens du Xe siècle : Antākī (vers 987) et Būzjānī (vers 998) écrivent des traités purement mathématiques ;
- Ibn al-Haytham : vers 1040, il résout le cas des ordres 4k + 2 avec k pair ;
- Inde : un carré d’ordre 4 de somme 34 est gravé sur le temple de Parshvanath à Khajuraho, au XIIe siècle, et Varahamihira en utilisait un vers 550 pour des proportions de parfum.
Le terme arabe pour ces carrés est wafq al-aʿdād, que Wikipédia traduit par « disposition harmonieuse des nombres ». Le mot wafq désigne donc d’abord un arrangement harmonieux, avant de désigner un talisman.
La répartition des mérites est instructive. Dans le monde arabe, on trouve à la fois des traités purement mathématiques, comme ceux d’Antākī et de Būzjānī, et des usages mêlés d’alchimie ou de symbolisme. Les deux courants cohabitent, parfois chez les mêmes auteurs. Un carré peut donc être un résultat de calcul et un support symbolique à la fois, sans que l’un prouve l’autre.
L’Europe arrive plus tard dans cette histoire. Dürer grave son carré en 1514, et selon Wikipédia c’est le premier à apparaître dans l’art européen. Ensuite, les mathématiciens étudient les propriétés de ces tableaux pour elles-mêmes : nombre de carrés possibles, méthodes de construction, variantes comme les carrés pandiagonaux, où les diagonales brisées ont aussi la même somme.
Retiens que les sources lues ne permettent pas de dire qui a « inventé » le carré magique. Elles montrent plutôt une circulation de savoirs entre la Chine, l’Inde, le monde arabe et l’Europe, sur plus de mille ans.
Pourquoi parle-t-on de carrés magiques dans les talismans et dans le Shams al-Maarif ?
Parce que des traditions ont attribué à ces carrés des vertus symboliques. Selon Wikipédia, al-Būnī leur attribue vers 1225 des propriétés mystiques dans le Shams al-Maarif. Ces usages relèvent de la croyance : ce sont des pratiques de tradition, et le résultat vient de Dieu.
Voici ce que dit la source sur cet usage :
- à partir du XIIIe siècle, les carrés sont de plus en plus mis au service d’usages occultes ;
- des carrés d’ordre 3 à 9 sont associés aux sept planètes, par exemple celui de Saturne, d’ordre 3 ;
- le Liber de Angelis, vers 1440, décrit ces associations ;
- Agrippa les reprend dans De occulta philosophia, dans l’édition de 1531 ;
- dans les années 1700, le mysticisme a largement disparu des traités de mathématiques.
Qu’est-ce que cela change à ta lecture ? Un point important : le fait qu’un tableau ait une somme constante ne prouve rien sur un effet quelconque. La propriété mathématique est exacte. Le sens symbolique que des traditions y ajoutent est un autre domaine, celui de la croyance, et il ne se mesure pas.
Dans certaines traditions, un carré gravé ou écrit sur un support serait censé protéger ou aider. Je le rapporte comme une croyance historique, pas comme un fait. Ce sont des pratiques de croyance que les marabouts utilisent, et le résultat vient de Dieu.
Pour le contenu précis du livre, il faut rester prudent. Selon Noah Gardiner, les écrits d’al-Būnī mêlent thèmes soufis et occultes, et la grande version imprimée du Shams al-Maarif est en grande partie un produit du XVIIe siècle. Le Shams al-Maarif médiéval n’est donc pas le texte que tu trouves forcément dans une édition moderne. Pour comprendre cette différence, lis Shams al-Maarif al-Kubra : qu’est-ce que la grande version du livre ? et Quels sont les livres écrits par Ahmad al-Buni ? Liste prudente.
Le livre sur les talismans, lui, est traité à part. Si tu veux voir ce qu’il dit et ne dit pas, lis Shams al Ma’arif talisman : ce que le livre dit des talismans, sans promesse.
Enfin, une règle simple pour tout lecteur. Si une page te vend un carré magique comme un moyen d’obtenir de l’argent, de l’amour ou de la protection, c’est une promesse que rien ne démontre. Le carré magique, lui, reste un objet de mathématiques et d’histoire que tu peux étudier sans rien lui demander.
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En résumé
Un carré magique est un tableau carré de nombres dont les lignes, les colonnes et les deux diagonales principales ont la même somme. Pour un carré normal d’ordre n, cette constante vaut n(n² + 1) / 2 : 15 pour l’ordre 3, 34 pour l’ordre 4, 65 pour l’ordre 5.
Il existe un seul carré normal d’ordre 3 à rotation et symétrie près, 880 d’ordre 4 et 275 305 224 d’ordre 5, selon Wikipédia. Les ordres impairs se construisent avec la méthode siamoise.
L’histoire passe par la Chine, avec un témoignage vers 190 avant notre ère, puis par le monde arabe, l’Inde et l’Europe, dont le carré de Dürer en 1514.
Selon Wikipédia, al-Būnī attribue vers 1225 des propriétés mystiques aux carrés dans le Shams al-Maarif. Ce sont des pratiques de tradition, et le résultat vient de Dieu.
Je suis maître marabout, avec plusieurs années d’expérience. J’ai pratiqué ces secrets pour moi-même et pour d’autres personnes, et je les ai transmis à des gens qui en ont été satisfaits. Mais le résultat vient de Dieu : tu peux ne pas en obtenir, comme moi ou comme d’autres.
Sources : article Magic square sur Wikipédia (en anglais) ; Noah Gardiner, « Forbidden Knowledge? », Journal of Arabic and Islamic Studies, 2012.
Questions fréquentes
Quelle est la constante magique d’un carré d’ordre 3 ?
Elle vaut 15. C’est le résultat de la formule n(n² + 1) / 2 avec n = 3, soit 3 × 10 / 2.
Un carré magique contient-il forcément les nombres de 1 à n² ?
Non. Seul le carré magique normal contient exactement ces nombres. Un tableau avec d’autres nombres peut être magique si ses sommes sont toutes égales.
Les carrés magiques ont-ils un pouvoir ?
Aucune source sérieuse ne le démontre. Ce sont des pratiques de tradition, et le résultat vient de Dieu. Sur le plan mathématique, le carré est un objet de calcul.
Al-Būnī a-t-il inventé le carré magique ?
Non. Les sources lues montrent des carrés bien antérieurs, en Chine, en Inde et dans le monde arabe. Selon Wikipédia, al-Būnī leur attribue vers 1225 des propriétés mystiques.
