Pour construire un carré magique d’ordre impair, on place 1 au milieu de la ligne du haut, puis on monte d’une case en diagonale vers la droite pour chaque nombre suivant, en revenant de l’autre côté quand on sort de la grille. Si la case est prise, on descend d’une case. C’est la méthode continue.
Cette règle tient en quelques lignes, et pourtant elle donne des carrés dont toutes les sommes sont égales. Je l’ai programmée et vérifiée pour les ordres 3, 5 et 7. Tu peux la refaire avec un crayon, et c’est la meilleure manière de comprendre ce qu’est un carré magique avant de lire un livre de tradition qui en contient.
Dans cet article, je te montre trois constructions : la méthode continue pour les ordres impairs, une astuce simple pour l’ordre 4, et les limites de ces méthodes. Pour l’histoire de ces procédés, je m’appuie sur la page de Wikipédia consacrée aux carrés magiques. Les grilles et les vérifications sont de moi, et je ne promets aucun effet particulier à ces carrés.
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Comment construire un carré magique d’ordre impair ?
Avec la méthode continue, en cinq gestes. Selon Wikipédia, cette méthode est attribuée à De la Loubère en 1691 et décrite comme la méthode continue indienne. La page ne détaille pas les étapes. Voici la règle telle que je l’ai programmée, et dont j’ai vérifié les résultats :
- Place 1. Mets le nombre 1 dans la case du milieu de la ligne du haut ;
- Monte et décale. Pour chaque nombre suivant, passe à la case située une ligne plus haut et une colonne plus à droite ;
- Reviens de l’autre côté. Si tu sors de la grille par le haut, reviens sur la dernière ligne. Si tu sors par la droite, reviens sur la première colonne ;
- Descends si c’est pris. Si la case visée contient déjà un nombre, place le nombre suivant juste en dessous du dernier nombre posé ;
- Continue jusqu’à n². Arrête-toi quand tu as placé tous les nombres de 1 à n².
Voici le résultat pour l’ordre 3 (constante 15) :
| 8 | 1 | 6 |
|---|---|---|
| 3 | 5 | 7 |
| 4 | 9 | 2 |
Cette grille est le Lo Shu retourné de haut en bas, ce qui est un autre carré de la même famille selon la page de Wikipédia. Les trois lignes donnent 15, comme les colonnes et les deux diagonales.
Et voici celui de l’ordre 5 (constante 65), obtenu avec la même règle :
| 17 | 24 | 1 | 8 | 15 |
|---|---|---|---|---|
| 23 | 5 | 7 | 14 | 16 |
| 4 | 6 | 13 | 20 | 22 |
| 10 | 12 | 19 | 21 | 3 |
| 11 | 18 | 25 | 2 | 9 |
Vérifie la première ligne : 17 + 24 + 1 + 8 + 15 = 65. Je l’ai contrôlée par un programme pour les lignes, les colonnes et les deux diagonales, et je l’ai refaite pour l’ordre 7, dont la constante est 175.
Cette règle fonctionne pour tous les ordres impairs que j’ai testés (3, 5 et 7). Je n’ai pas fait de démonstration générale. La page de Wikipédia dit que cette méthode existe pour les ordres impairs, sans en détailler la preuve.
Pour la formule qui donne la somme de chaque ligne, Constante magique : formule et tableau pour chaque ordre montre comment la retrouver soi-même.
Comment construire un carré magique d’ordre 4 ?
Avec une astuce de complément, sur une grille de 4 par 4. Cette méthode est simple, mais elle donne un carré parmi 880 possibles, selon la page de Wikipédia. Voici comment faire :
- Écris les nombres dans l’ordre. Remplis la grille ligne par ligne, de 1 à 16 ;
- Repère les diagonales. Ce sont les quatre cases de chaque diagonale principale ;
- Remplace chaque nombre diagonal par son complément à 17. Un nombre x devient 17 − x. Le 1 devient 16, le 6 devient 11, le 11 devient 6, le 16 devient 1, et ainsi de suite.
Voici la grille de départ :
| 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|
| 5 | 6 | 7 | 8 |
| 9 | 10 | 11 | 12 |
| 13 | 14 | 15 | 16 |
Et voici le résultat, après remplacement des deux diagonales :
| 16 | 2 | 3 | 13 |
|---|---|---|---|
| 5 | 11 | 10 | 8 |
| 9 | 7 | 6 | 12 |
| 4 | 14 | 15 | 1 |
Les sommes sont toutes égales à 34 : la première ligne donne 16 + 2 + 3 + 13 = 34, et la première colonne 16 + 5 + 9 + 4 = 34. Les diagonales font 16 + 11 + 6 + 1 = 34 et 13 + 10 + 7 + 4 = 34. J’ai vérifié les dix sommes une par une.
Cette grille n’est pas celle que Dürer a gravée en 1514. Elle a la même constante, mais ses nombres sont rangés autrement. Pour la grille gravée, Carré magique de Dürer : la grille de Melencolia I expliquée donne le détail.
Cette astuce de complément est une méthode courante que j’ai testée sur l’ordre 4. Je ne l’ai trouvée décrite dans aucune des sources que j’ai lues. Je la présente donc comme mon exercice, pas comme une méthode attribuée à un auteur.
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Que dit l’histoire de ces méthodes de construction ?
Qu’elles existent depuis longtemps, sous des formes variées. La page de Wikipédia classe les carrés en trois familles et cite plusieurs noms :
| Famille | Méthodes citées par la page |
|---|---|
| Ordre impair | Méthode continue de De la Loubère (1691) ; « méthode du losange » de Bachet (1624) |
| Ordre doublement pair (multiple de 4) | Bordure et superposition ; Narayana Pandit (1356) est crédité de la superposition |
| Ordre simplement pair | Méthode LUX de Conway ; méthode de Strachey ; Narayana Pandit pour l’échange |
La page ajoute que d’Ons-le-Bray a redécouvert la bordure vers 1750. Elle précise qu’il n’existe aucune méthode complètement générale pour tous les ordres, et que trois techniques sont connues historiquement : la bordure, les carrés composés et l’addition de deux carrés préliminaires.
Dans le monde islamique, la page rapporte aussi que les premiers carrés d’ordre 3 datables apparaissent chez Jābir ibn Ḥayyān. Les Rasāʾil des Ikhwān al-Ṣafāʾ, vers 983, donnent des carrés d’ordres 3 à 9, et Ibn al-Haytham traite certains ordres simplement pairs vers 1040. Elle ajoute qu’al-Būnī, vers 1225, aurait écrit sur la construction de carrés bordés.
Trois remarques sur ces repères :
- Les dates sont celles de la page. Je ne les ai pas recoupées avec d’autres sources ;
- La méthode ne dépend pas de la culture. Le même procédé peut se redécouvrir à plusieurs endroits, ce qui rend les attributions fragiles ;
- Savoir construire un carré n’en fait pas un talisman. C’est un exercice de mathématiques. L’usage occulte relève d’une autre tradition, que je n’évalue pas ici.
Pour la figure d’al-Būnī, Qui est Al-Buni ? Un maître soufi derrière la légende rassemble les repères.
Peut-on construire un carré d’ordre 6 ou 10 de la même façon ?
Pas avec les règles ci-dessus. Les ordres 6, 10, 14 et suivants sont dits « simplement pairs » (pairs, mais pas multiples de 4). Selon la page de Wikipédia, ils demandent d’autres méthodes, comme la méthode LUX de Conway ou celle de Strachey, que la page nomme sans les décrire. Je ne les détaille donc pas ici, faute de source que je puisse vérifier.
Ce que je peux dire sans prendre de risque :
- L’ordre 4 se traite à part. J’ai testé l’astuce de complément sur l’ordre 4 seulement, et je ne l’étends pas à l’ordre 8 sans l’avoir vérifiée ;
- L’ordre impair a sa propre règle. La méthode continue ne s’applique pas telle quelle aux ordres pairs ;
- Un carré d’ordre 2 est impossible. Mon raisonnement : la constante vaudrait 5, donc la case voisine de 1 dans sa ligne devrait contenir 4, et la case voisine de 1 dans sa colonne devrait aussi contenir 4. Ce sont deux cases différentes, et 4 ne peut être placé qu’une fois.
Ces limites rappellent qu’il n’y a pas de recette universelle. La page de Wikipédia le dit d’ailleurs en toutes lettres. Cela devrait te rendre prudent devant toute présentation qui promet « le » procédé secret de construction.
Cet article est un exercice de mathématiques et d’histoire. Il ne donne aucune pratique rituelle. Ce sont des pratiques de tradition, et le résultat vient de Dieu. Pour une question religieuse, demande à une personne compétente de ta tradition.
Pour la place de ces grilles dans la tradition arabe, Qu’est-ce qu’un carré magique ? Définition, exemples et histoire donne le contexte général.
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Comment vérifier un carré construit, et éviter les erreurs de recopie ?
En refaisant toutes les sommes avant de recopier la grille. Voici la méthode que j’utilise (elle est de moi) :
- Calcule la constante. Utilise la formule n(n²+1)/2 : 15 pour l’ordre 3, 34 pour l’ordre 4, 65 pour l’ordre 5, 175 pour l’ordre 7 ;
- Vérifie chaque ligne. Additionne les nombres d’une ligne et compare le total à la constante ;
- Vérifie chaque colonne. Même opération, en descendant ;
- Vérifie les deux diagonales. Ce sont celles qu’on oublie le plus souvent ;
- Contrôle les doublons. Chaque nombre de 1 à n² doit apparaître une fois et une seule.
Un contrôle de plus, qui fait gagner du temps : dans un carré d’ordre impair construit avec la méthode continue, le nombre au centre est (n²+1)/2. C’est 5 pour l’ordre 3, 13 pour l’ordre 5 et 25 pour l’ordre 7. Dans mes grilles, c’est bien le cas. Si le centre est différent, il y a une erreur quelque part.
Une dernière précaution concerne les textes anciens. Un carré recopié à la main, ou traduit, contient parfois un chiffre faux. Quand les sommes ne tombent pas juste, la cause la plus probable est une faute de copie, pas un secret caché. Pour la conversion des lettres en nombres dans cette tradition, Valeur numérique des lettres arabes : le tableau abjad expliqué donne la table utile.
Pour une approche de lecture prudente du livre arabe, Lire Shams al-Maarif sans pratiquer : est-ce possible et comment faire ? propose une méthode pas à pas.
En résumé
Pour construire un carré magique d’ordre impair, on utilise la méthode continue : 1 au milieu de la ligne du haut, puis un pas en haut à droite, avec retour de l’autre côté et descente quand la case est prise. Pour l’ordre 4, on écrit 1 à 16 puis on remplace les nombres des diagonales par leur complément à 17.
Selon Wikipédia, ces méthodes remontent à plusieurs auteurs, et il n’existe pas de méthode générale pour tous les ordres. Les grilles de cet article sont vérifiées par calcul. Ce sont des pratiques de tradition quand on leur attribue un usage, et le résultat vient de Dieu.
Je suis maître marabout, avec plusieurs années d’expérience. J’ai pratiqué ces secrets pour moi-même et pour d’autres personnes, et je les ai transmis à des gens qui en ont été satisfaits. Mais le résultat vient de Dieu : tu peux ne pas en obtenir, comme moi ou comme d’autres.
Sources : article « Magic square » sur Wikipédia (en anglais).
Questions fréquentes
Comment faire un carré magique de 3 par 3 ?
Place 1 au milieu de la ligne du haut, puis monte en diagonale vers la droite pour chaque nombre, en revenant de l’autre côté ou en descendant si la case est prise. Tu obtiens une grille dont les sommes valent 15.
Quelle est la méthode pour un carré magique de 4 par 4 ?
Écris les nombres de 1 à 16 ligne par ligne, puis remplace chaque nombre des deux diagonales par son complément à 17. Toutes les sommes valent alors 34.
Qui a inventé la méthode continue ?
Selon Wikipédia, elle est attribuée à De la Loubère en 1691, et décrite comme une méthode continue indienne.
Un carré magique construit ainsi a-t-il un pouvoir ?
Aucune source lue ne le démontre. C’est un exercice de mathématiques, et le résultat vient de Dieu.
