Le carré magique de Dürer est une grille de 4 cases sur 4, gravée en 1514 dans l’estampe Melencolia I. Elle contient les nombres de 1 à 16, et chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale totalise 34. L’année 1514 apparaît dans les deux cases du milieu de la ligne du bas.
Ce petit carré est l’un des plus célèbres au monde. On le voit dans des manuels de maths, dans des livres d’art et sur des pages consacrées à la magie. Il intéresse aussi quiconque lit autour du Shams al-Maarif, parce que le livre décrit lui aussi des carrés de nombres et de lettres.
Je te propose de le regarder avec les yeux d’un lecteur curieux : ce qu’on peut vérifier à la main, ce que les historiens de l’art en disent, et ce qui relève de l’interprétation. J’ai calculé moi-même les sommes que je donne plus bas.
Je m’appuie sur les articles de Wikipédia consacrés à Melencolia I et aux carrés magiques. Quand je fais un calcul, je le dis. Quand une source se tait, je l’écris aussi.
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Quelle est la grille du carré magique de Dürer ?
La voici, ligne par ligne. Elle est reconstituée à partir de l’article Melencolia I de Wikipédia, et j’en ai contrôlé toutes les sommes par un petit programme.
| 16 | 3 | 2 | 13 |
|---|---|---|---|
| 5 | 10 | 11 | 8 |
| 9 | 6 | 7 | 12 |
| 4 | 15 | 14 | 1 |
Le carré est dit « normal » : il emploie chaque entier de 1 à 16 une seule fois. Sa constante magique est 34. Pour un carré normal d’ordre n, la constante vaut n(n²+1)/2, ce qui donne bien 4 × 17 / 2 = 34 pour n = 4.
Voici ce que j’ai vérifié, calcul à l’appui :
- Les quatre lignes donnent 34 chacune ;
- Les quatre colonnes donnent 34 chacune ;
- Les deux diagonales donnent 34 chacune ;
- Les quatre coins (16, 13, 4 et 1) donnent 34 ;
- Les quatre quarts de grille, de 2 sur 2 cases, donnent 34 chacun ;
- Le carré central (10, 11, 6 et 7) donne 34.
L’année 1514 se lit dans les deux cases centrales de la dernière ligne : 15 et 14. L’estampe porte aussi la date au-dessus du monogramme de Dürer, en bas à droite, selon Wikipédia.
Ce carré est de plus « associatif » : deux cases symétriques par rapport au centre totalisent toujours 17. Par exemple, 16 et 1, ou 3 et 14. Je l’ai contrôlé sur les seize cases, et c’est exact.
Si tu débutes avec ces grilles, Qu’est-ce qu’un carré magique ? Définition, exemples et histoire pose les bases, avec le plus petit exemple d’ordre 3.
D’où vient cette grille et pourquoi 1514 ?
L’estampe s’appelle Melencolia I et date de 1514, selon Wikipédia. Le carré y est gravé dans un coin du décor, au-dessus d’une figure assise entourée d’objets : un sablier, une balance, un compas, un polyèdre, un chien, une bourse et des clés.
Wikipédia le décrit comme le premier carré magique imprimé en Europe. Je ne l’ai pas vérifié ailleurs, et je le rapporte avec cette réserve, car une affirmation de « premier » demande en général une recherche savante précise.
Plusieurs lectures du symbolisme sont citées :
- Le lien avec Jupiter. Un carré d’ordre 4 est associé à Jupiter, planète que l’on croyait capable d’écarter la mélancolie. La grille serait alors un contrepoids « jovial » ;
- La date de 1514. Elle se lit dans le carré lui-même, ce qui est un jeu d’auteur ;
- La mort de la mère de Dürer. Elle est morte le 17 mai 1514 (le 16, selon certaines sources). Certains interprètes relient les chiffres de la date à des paires de cases dont les sommes valent 5 et 17 ;
- Les nombreuses lectures savantes. Wikipédia cite Erwin Panofsky, Fritz Saxl et Raymond Klibansky, dont les études sont jugées parmi les plus influentes, ainsi que Philip Sohm, Frances Yates, Luca Pacioli et d’autres.
Les rapports entre la grille, Jupiter et la mélancolie sont des interprétations d’historiens de l’art, pas des faits établis par Dürer. À ma connaissance, aucun texte de lui n’explique le choix de ce carré, et aucune des sources lues n’en cite.
Le même principe vaut pour la lecture « mère de Dürer ». C’est une piste d’interprétation qui plaît parce qu’elle est humaine, mais elle reste une hypothèse. Un bon lecteur la garde comme telle.
Pour un autre exemple de grille chargée de légende, Qu’est-ce que le Lo Shu ? Légende, grille et propriétés présente le carré d’ordre 3, avec la même distinction entre calcul et récit.
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Existe-t-il d’autres carrés magiques d’ordre 4 que celui de Dürer ?
Oui, et beaucoup. Selon Wikipédia, Frenicle de Bessy a montré qu’il existe exactement 880 carrés magiques normaux d’ordre 4 différents, sans compter les rotations et les symétries. Ses traités ont été publiés après sa mort, en 1693, soit vingt ans plus tard.
Par comparaison, l’ordre 3 est beaucoup plus pauvre. Selon la même page, tous les carrés normaux d’ordre 3 sont équivalents au Lo Shu, à rotation et symétrie près : il n’y en a qu’un.
| Ordre | Constante magique | Combien de carrés normaux ? |
|---|---|---|
| 3 | 15 | Un seul (le Lo Shu), à rotation et symétrie près |
| 4 | 34 | 880 différents, d’après Frenicle de Bessy |
| 5 | 65 | Nombre beaucoup plus grand, non détaillé ici |
Je ne donne pas ici de nombre pour l’ordre 5. Je n’ai pas relu de source qui l’établisse précisément dans mes lectures pour cet article.
Pourquoi le carré de Dürer est-il célèbre, parmi 880 ? Essentiellement parce qu’il est gravé dans une œuvre célèbre, et non parce qu’il serait mathématiquement unique. Ses propriétés (sommes sur les coins, quarts de grille, centre, symétrie à 17) existent aussi, en partie, dans d’autres carrés d’ordre 4. Je n’ai pas vérifié lesquels les ont toutes.
Si tu veux construire un carré toi-même, l’ordre 4 est un bon terrain d’essai. Place les nombres de 1 à 16 dans l’ordre sur la grille, puis échange les cases des deux diagonales avec leurs symétriques par rapport au centre. Tu obtiens un carré magique de constante 34. Ce n’est pas la grille de Dürer, mais elle partage la même constante. Vérifie les sommes sur une feuille, c’est le meilleur moyen de comprendre pourquoi ça marche.
Pour aller plus loin sur ce qu’on peut faire avec ces grilles, Qu’est-ce qu’un carré magique ? Définition, exemples et histoire rappelle la définition générale et ses variantes.
Quel rapport entre le carré de Dürer, le monde arabe et le Shams al-Maarif ?
Un rapport d’histoire commune, pas de filiation prouvée. Selon l’article de Wikipédia sur les carrés magiques, le premier carré d’ordre 3 qu’on peut dater apparaît dans un livre attribué à Jābir ibn Ḥayyān (vers 721 à vers 815), lié à l’alchimie. Des traités arabes plus anciens, d’al-Buzjani vers 998 et d’al-Antaki vers 987, sont les plus anciens conservés.
Toujours selon cette page, Aḥmad al-Būnī, vers 1225, attribue des propriétés mystiques aux carrés magiques dans le Shams al-Maarif et décrit leur construction. Du côté européen, Heinrich Cornelius Agrippa a écrit De occulta philosophia vers 1510, et l’édition de 1531 traite des carrés planétaires d’ordre 3 à 9.
Voici une chronologie, telle que la page la donne :
- Vers 650 avant notre ère. Des légendes placent le Lo Shu en Chine, au plus tôt à cette date ;
- Vers 190 avant notre ère. Le plus ancien carré d’ordre 3 enregistré se trouve dans un texte qui lui est attribué, le Shushu jiyi ;
- Vers 721 à 815. Le premier carré d’ordre 3 datable dans le monde arabe, chez Jābir ibn Ḥayyān ;
- Vers 1225. Al-Būnī et le Shams al-Maarif ;
- 1514. Dürer et Melencolia I ;
- 1531. L’édition d’Agrippa qui traite les carrés planétaires.
Carré planétaire : carré magique associé à une planète, dans la tradition astrologique. Un carré d’ordre 4 est rattaché à Jupiter, d’après les lectures citées de Melencolia I.
Cette chronologie ne dit pas que Dürer a lu al-Būnī, et je n’ai trouvé aucune source qui l’affirme. Elle montre que la même idée, une grille de nombres aux sommes égales, a traversé plusieurs cultures et plusieurs siècles. C’est une histoire de circulation, avec des chaînons que les sources lues ne décrivent pas.
Pour la façon dont le livre arabe en parle, Que contient le Shams al-Maarif ? Le contenu du livre expliqué situe les carrés parmi les autres thèmes. Et pour la comparaison avec un autre texte, Shams al-Maarif ou Picatrix : lequel lire et pourquoi ? donne des repères.
Un carré magique a-t-il un pouvoir, ou est-ce un jeu de nombres ?
Sur le plan des maths, c’est un objet précis : une grille dont les sommes sont égales. Cela se démontre et se vérifie, comme je l’ai fait plus haut. Rien d’autre n’est établi par les sources lues.
Sur le plan de la tradition, certains textes attribuent à ces grilles des propriétés symboliques ou protectrices. Wikipédia rapporte que le Shams al-Maarif leur prête des propriétés mystiques. Ce sont des pratiques de tradition, et le résultat vient de Dieu. Ce sont des pratiques de croyance que les marabouts utilisent, et le résultat vient de Dieu.
Voici comment garder la tête claire :
- Sépare le calcul et le récit. Que la somme fasse 34 est vrai. Que 34 « protège » est une croyance ;
- Regarde la source. Une page qui promet un effet sans citer de texte, de page ni d’édition ne mérite pas ta confiance ;
- Méfie-toi du mot « magique ». En maths, il vient de l’histoire du sujet. Il ne décrit pas un effet réel ;
- Garde le plaisir. Résoudre ou construire un carré est un bon exercice de logique, sans rien promettre de plus.
Cet article n’est pas un conseil religieux ni un guide de pratique. Pour une question de pratique, demande à une personne compétente de ta tradition. Le résultat vient de Dieu.
Ce que tu peux faire, en revanche, c’est lire les textes eux-mêmes. Lire Shams al-Maarif sans pratiquer : est-ce possible et comment faire ? propose une méthode de lecture qui sépare le contenu de la mise en pratique.
Obtiens Le Grand Livre des Secrets Mystiques et pratique ces secrets toi-même.
En résumé
Le carré magique de Dürer est une grille de 4 sur 4, gravée en 1514 dans Melencolia I. Elle contient les nombres de 1 à 16, avec une constante magique de 34 sur les lignes, colonnes, diagonales, coins, quarts de grille et centre, que j’ai contrôlées par calcul. Il existe 880 carrés normaux d’ordre 4, selon Frenicle de Bessy.
Les lectures symboliques, liées à Jupiter ou à la mère de Dürer, sont des interprétations. Le Shams al-Maarif décrit aussi des carrés, mais aucune source lue ne relie Dürer à al-Būnī. Ce sont des pratiques de tradition, et le résultat vient de Dieu.
Je suis maître marabout, avec plusieurs années d’expérience. J’ai pratiqué ces secrets pour moi-même et pour d’autres personnes, et je les ai transmis à des gens qui en ont été satisfaits. Mais le résultat vient de Dieu : tu peux ne pas en obtenir, comme moi ou comme d’autres.
Sources : article Melencolia I sur Wikipédia (en anglais) ; article Magic square sur Wikipédia (en anglais) ; calculs de vérification faits par l’auteur du site.
Questions fréquentes
Quelle est la somme du carré magique de Dürer ?
34, sur chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale. Elle se retrouve aussi sur les quatre coins, les quatre quarts de grille et le centre, d’après mes calculs.
Que signifie 1514 dans le carré de Dürer ?
C’est l’année de l’estampe. Elle se lit dans les deux cases centrales de la dernière ligne (15 et 14), selon Wikipédia.
Combien de carrés magiques d’ordre 4 existe-t-il ?
880 carrés normaux différents, d’après Frenicle de Bessy, rapporté par Wikipédia. Les rotations et les symétries ne sont pas comptées à part.
Le carré de Dürer a-t-il un pouvoir magique ?
Les sources lues donnent des interprétations symboliques, pas un effet mesuré. Ce sont des pratiques de tradition, et le résultat vient de Dieu.
